三支决策的几何学

文章基本信息

本文原题为《三支决策的几何学》（The geometry of three-way decision），作者姚一豫（Yiyu Yao），加拿大里贾纳大学（University of Regina）计算机科学系。原载《应用智能》（Applied Intelligence）2021 年第 51 卷，第 6298–6325 页，DOI: 10.1007/s10489-020-02142-z；2020 年 12 月 12 日录用，2021 年 1 月 9 日在线发表，属该刊「三十周年纪念专题」（30th Anniversary Special Issue）。原文 28 页，含图 14 组（多数组带 a–f 子图）、表 2 张、参考文献 162 条。

编者按

编者按：先说清楚一件事——这不是一篇九型人格研究论文。它是「三支决策」（three-way decision）这一理论方向的方法论综述，作者姚一豫是该理论的创立者与主要推动者。九型人格在全文只占一节（§5.3，约 6% 篇幅），与八卦、河图洛书、印度三德（guṇa）并列，被当作「三支结构在人类文化中的实例」之一来处理。

那为什么全文收录？因为这一节在国际主流期刊上相当罕见：它是少有的不讨论九型人格的效度、只分析其结构的正式文献。作者关心的不是「九型准不准」，而是「九型这个图形如何用三、六、九的重叠结构承载三支思维」。对本站读者，这提供了一个别处不易得到的视角：把九型符号当作一件几何—符号学对象来看。同时，作者在 §5.3 里如实引述了针对九型科学性的批评文献，没有替它辩护——这一点也值得注意。

阅读路径建议：若只关心九型，可以直奔 §5.3；但该节的论证依赖 §4 对「三元组之几何表示」的分类与 §5.2 对八卦两套循环的讨论——不读前文，「为什么九型会被当作三支结构」这一点会看不懂。译者因此保留了 §4 与 §5.1–5.2 的完整论证，未作压缩。

翻译取舍：其一，数学符号按原文转录（含集合记号、阈值对 ⟨α, β⟩、循环小数算式等），未改写为中文叙述；其二，原文 2 张表（Schwenk 三阶段认知过程表、A-E-Y 反对三角形解释表）重排为本站表格样式；其三，原文 14 组插图重绘了 13 组（图 1–12、图 14，其中图 14 含 a、b 两幅）；唯图 13「河图」「洛书」不重绘——那是文物点阵摹本，点位与黑白配数属图像本身，重绘易失真，故其构成以文字完整说明，并在正文中加译者注；其四，参考文献 162 条照录英文原形，未译——学术引用须能回查原刊。

一处立场提醒：作者在 §5.3 中对九型人格的「科学性争议」有明确交代（引 [76, 93, 115] 等批评文献），但他本人不对九型是否为有效类型学下判断；他的兴趣在结构，不在经验效度。读者若把本文当作「九型获得主流学术界认可」的证据，那是误读——本文认可的是「九型这个图形是一种精巧的三支结构」，仅此而已。

摘要

三支决策理论，关涉的是「以三为单位」去思考、解题与处理信息的技艺、科学与实践。它探究三个东西所成之三元组（triads）的有效用法——例如三个元素、三个部分、三个视角等等。本文借助点、线、三角形、圆这些基本几何概念，以及由这些基本概念派生出的更复杂结构，考察三元组的几何结构、图形表示与语义解释。我取不同学科与领域的例子，说明这些结构的用法，以及它们对三支思维、三支计算与三支处理的物理解释。依循三支思维的原则，本文把三种常见的思考方式——数值思维、文本思维与视觉思维——熔合为一。

关键词：三支决策　·　三支思维　·　三层次分析　·　视觉思维　·　数值思维　·　八卦　·　九型人格

（原文关键词：Three-way decision · triadic thinking · Trilevel analysis · Visual thinking · Numerical thinking · Eight trigrams · Enneagram）

1　引言

近年来，三支决策理论受到了颇多关注 [66, 70, 124, 143]。简言之，三支决策是基于三个东西所成之三元组去思考、解题与处理信息 [136, 138]。作为全文的引子，我先简要讨论「三支决策即三支思维」这一提法所需的背景；为了与本专题的读者相衔接，我考察三支决策对人工智能的若干含义；最后说明本文的目标，并概述主要结果。

本文的例子取自许多不同的学科与领域。在其中一些领域，我是外行，因此我的描述多半停留在表层，也可能含有误解。我的重心是这些例子中三支结构、三支模式与三支方法论的用法——如何以三支的方式展开并呈现内容，才是要点所在。相较之下，内容本身次要一些，我那些简短的描述，已足以说明它们如何运用三支思维的原则与实践。此外，尽管我欣赏这些例子中的三支进路，却未必认同其内容。换言之：三支思维提供的是有力的原则、有效的方法论与有用的工具，而这些独立于具体内容。

1.1　作为三支思维的三支决策

三支决策的三支思维与三支方法，其动因与依据，来自认知科学与认知心理学的一个基本发现：由于短时工作记忆的容量有限，我们处理少量信息单位的能力也是有限的 [23, 40, 83]。尽管对于「究竟几个单位」并无公认答案，以三为单位来思考，却是跨文化、跨学科的共同主题与频繁现象 [9, 12, 31, 59]。例如，Changizi 与 Shimojo [14] 考察了人类历史上百余种书写系统，表明「每个字符的笔画数约为三，且与书写系统的字符总数无关」。Pogliani 等 [97, 98] 给出大量例子，说明我们人类——尤其是科学家——对「三元格局的实在」有一种耐人寻味的偏好。据 Merriam [82]，词与数是人类符号系统的两大要素，而在「带数字的修辞」中，三占主导。Booker [10] 表明，三在叙事中具有原型性的意义，其表现即「三之法则」（the rule of three，即用三个要素）。Watson [121] 指出，由三个宏大观念、时代或原则构成的三分体系，已被众多思想史研究者所用。

有些作者假定自然界存在三支模式，另一些作者则认为三支模式是我们为了表征与理解世界而造出来的。Dundes [31] 有一句锐利的断语：「三分确实存在，但那不是自然的本性，而是文化本性的一部分。」这种「文化本性」的根，也许正是我们有限的信息处理能力 [134]。再者，我们对三支思维的广泛经验与反复接触，一次又一次地确认——再确认——以三为单位去思考、工作与处理的容易、有力与有价值。另一方面，一门独立自足的三支思维通论至今尚不存在。这正是提出三支决策理论的动因 [131, 132, 134]。要感受三支决策在理论、方法与应用上的迅速发展，下面是一份新近涌现之课题的示例清单，每一课题附若干示例文献：

• 三支决策支持系统 [128]；
• 知识管理中的三支决策 [2]；
• 序贯三支决策 [24, 47, 61, 100, 101, 126, 133, 152]；
• 三支决策理论 [45, 46, 51, 65, 102, 138, 139, 160]；
• 三支数据分析 [69, 74, 122, 123, 125, 159, 161]；
• 三支聚类分析 [119, 144–148]；
• 模糊集与影子集的三支近似 [37, 149, 153, 157]；
• 三支概念分析 [73, 76, 99, 103, 108, 135, 162]；
• 三支概念学习 [62, 84]；
• 情感分析中的三支决策 [50, 158]；
• 三支冲突分析 [57, 58, 112, 137]；
• 三支假设分析与评估 [34]；
• 三支属性约简与特征选择 [63, 75, 154–156]；
• 三支粒度计算 [33, 64, 127, 136]；
• 三支多准则决策与三支多属性决策 [67, 71, 92, 113, 151]。

在「以二为单位」的思维（即二分、黑白、全或无的思维）之上再加第三个选项，三支决策便是「以三为单位」的思维（即三分、黑灰白、全／部分／无）。三支决策的基本概念之一，就是「三个东西所成之三元组」。三元组有多种解释，这赋予三支决策以普遍性、灵活性与可操作性。

1.2　三支决策与人工智能

在许多情形下，三支思维的长处之一，是避开「使用竞争性、排他性之对立二项」的那种简化。加入第三个选项，便朝向平衡、和谐与完整移动，而这往往带来新的观点、额外的洞见与不同的进路。作为示例，我来看三支思维对人工智能（AI）的若干含义。

人工智能研究通常聚焦于它的双重目标——用赫伯特·西蒙（Herbert Simon）的话说：「人工智能可以有两个目的。其一是用计算机的力量去增强人的思维……其二是用计算机的人工智能去理解人如何思维。」遗憾的是，这种二分的思考方式导致了机器与人的分离。Lebiere 等 [60] 指出：「……这两个目标非但没有从互补关系中得到益处，反而彼此分道，人工智能与认知科学这两个领域各自成熟为实质上彼此分离的学科。人工智能已献身于唯一的使命——创造智能计算机程序，而不管这些程序与人类认知过程有何关系。」

若我们能从三支思维学得什么，或许就该引入第三个选项。事实上，已有一些努力，朝向对人工智能的更具统摄性的理解，或可称为「集成的人机智能」[11]、「人机集成智能」或「人机共生」[38, 68, 134]。沿着这条路线的研究倡议，举三个例子：认知计算 [134]、通用人工智能（AGI）[60]、人机集体智能 [85]。

三支思维在人工智能语境中的另一个例子，是把人工智能分为三类：a) 专用人工智能（ANI）、b) 通用人工智能（AGI）、c) 超级人工智能（ASI）[39]。第三个例子：Peeters 等 [95] 就人工智能对人类社会的未来影响，辨识出三种不同视角——(1) 以技术为中心的视角、(2) 以人为本的视角、(3) 以集体智能为中心的视角。在人工智能领域里起作用的三支思维例子，还有很多。

1.3　目标与概要

在众多思考方式中，视觉思维、数值思维与文本思维三者尤为突出。它们作为三元组协同运作，提供互补的视角与更完整的理解。图像、符号、数与词，对于人的理解与交流都是本质性的。数是科学语言的重要部分。自然数——至少其中一些——常被赋予特殊的力量或含义，它们兼有定性解释与定量解释。三支决策理论的研究，正是在其字面义与比喻义两方面，探究「三」的魔力。目标之一，是为三支思维（以三为单位思考）建立数学的与科学的基础。

作为视觉工具，图形符号、图像、图画与图表，常常在形成深刻理解的过程中扮演本质性的角色。它们凭直觉讨人喜欢、抓人注意，善用我们「寻找模式」的本能。它们澄清、图解并增强书面观念，使复杂的文本描述得以简化并被完整把握。有时，它们能传达难以用文字充分描述的含义。因此，本文的主要目标，是开辟一条名为「三支决策的几何学」的研究新路。从视觉的角度看，三支决策的几何学研究三支决策中使用的各种几何结构与模式，例如三支决策的三分线段、三支决策的三角形、三支决策的同心三圆等等。数值思维（即以三为单位思考）与文本思维（即对三支决策原则的言语描述），是既有三支决策研究已经探索过的两个视角；新的视觉思维视角，则让我们得以构成「三个视角的三元组」。如此，我们便依三支决策自身「以三为单位思考」的原则，来研究三支决策。

本文其余部分安排如下。第 2 节简述我进入三支决策的历程。第 3 节概述「三分—行动—结果」（TAO）模型，它给出三支决策的一般构想。第 4 节考察作为三支决策之基础的三元组几何结构与模式。第 5 节考察嵌入更复杂结构中的三支思维，包括六边形、中国两幅古典图形河图与洛书、八卦，以及九型人格。

2　一切是怎么开始的：一段个人历程

有一位审稿人建议我加一节，回顾三支决策理论的历史发展，追述三值逻辑、模糊集、粗糙集等相关的基本思想。这确实是极好的、有洞见的建议。给出一些关键思想与里程碑，读者便有了必要的脉络，足以完整理解并领会三支决策这一概念。本节讨论那些影响了我对三支决策之构思的主要工作。为与全文风格一致，我只作概念层次的描述；更详细的数学形式表述，读者可查阅参考文献。

二十世纪八十年代初，Pawlak [90, 91] 提出粗糙集理论，用「对象的描述」来对数据作推理。当两个对象具有相同描述时，它们彼此不可分辨。这种不可分辨关系是一种等价关系，具有相同描述的对象构成等价类。于是，只有等价类及其并集才是可描述、可定义的集合。相应地，任意一个对象集合未必可定义，必须用可定义集去近似它。一个集合的下近似，是含于该集合之内的最大可定义集；上近似，是包含该集合的最小可定义集。换言之，下近似与上近似是两个可定义集，分别从下方与上方逼近给定集合。另一种在数学上等价的做法，是用三个可定义集来表示一次粗糙集近似：集合的正域由下近似定义，边界域由上近似与下近似之差定义，负域由上近似的补集定义。

「一对上下近似」这种表述，把粗糙集理论与模态逻辑连了起来：下近似与上近似分别对应模态逻辑的必然算子与可能算子，Pawlak 粗糙集模型对应模态逻辑系统 S5。「三个域」这种表述，则把粗糙集理论与三值逻辑连了起来：正域、负域、边界域，分别由三值逻辑中的真、假、以及第三个中间值来刻画 [16]。粗糙集理论的一个基本结果是：两个集合之并（交）的下（上）近似，不能由这两个集合各自的下（上）近似算出。粗糙集理论的这一「非真值函数」特征，对三值逻辑有独特的贡献——它要求使用非真值函数的逻辑联结词。

粗糙集理论捕捉的，是由「基于描述的对象不可分辨」所生的那类不确定性。在这种情形下，我们确切知道一个对象在或不在某集合中，但无法基于对象的描述精确地定义该集合。另一些情形里会出现另一类不确定性：由于信息不足，我们只知道部分对象的状态——在或不在集合中——对其余对象的状态则一无所知。为给这类不确定性建模，我于 1993 年提出区间集（interval set）的概念 [129]。区间集是由一对集合——称为下界与上界——所界定的一个集合族，其中下界是上界的子集。若完全信息已知，族中任何一个集合都可能是那个「真实的」集合。区间集的下界与上界，对应粗糙集的下近似与上近似，尽管两者的语义不同。基于下界与上界，区间集可以等价地用三个域来定义：下界由我们确知属于该集合的对象构成，从而定义正域；上界的补集由我们确知不属于该集合的对象构成，从而定义负域；边界域是上界与下界之差，由我们不知其状态的对象构成。若把这三个域与三值逻辑中的三个值相对应，则区间集代数由 Kleene 三值逻辑刻画，其第三个中间值解释为「未知」[16]。

九十年代初，我们把 Pawlak 粗糙集推广为决策论粗糙集，即一种概率粗糙集，其中接受或拒绝的判定各自带一个可接受的错误水平。在三值逻辑中，第三个中间值表示一个不同于标准真值（真与假）的真值。依对第三个值的不同解释，可以建立不同的三值逻辑系统 [16]。然而，用单一的值去表示一大片可能性，是三值逻辑的一个弱点。正因如此，更一般的多值逻辑系统被提了出来 [42]：三值逻辑的第三个值被推广为一组值。多值逻辑的一大难题，是真值的语义与推理规则的有效性。一个可能的解法，是用三值逻辑去解释多值逻辑：引入「指定真值」（designated truth values）与「指定假值」（designated false values）这两个概念，分别对应标准真值「真」与「假」，其余真值则对应三值逻辑的中间值。换言之，一个多值逻辑系统由三值逻辑系统来近似。概率粗糙集就是这一进路的一个例子：概率粗糙集近似，是概率逻辑之三值近似（三支近似）的结果。指定真值是等于或高于某一阈值的概率值，它定义正域；指定假值是等于或低于另一阈值的概率值，它定义负域；两阈值之间的其余概率值，则定义边界域。

1965 年，Zadeh [150] 提出模糊集理论，用以表示边界逐渐变化的概念。一个对象被赋予 [0, 1] 区间中的一个隶属度，以表示该对象属于某模糊集的程度。相应的模糊逻辑是多值逻辑。Zadeh 曾简要描述过模糊集之三支近似的概念，其构造方式与「构造多值逻辑的三支近似」或「构造三支概率粗糙集近似」相似。具体地说：若某对象的隶属度等于或高于某一阈值，该对象被视为成员；若隶属度等于或低于另一阈值，该对象被视为非成员；若隶属度落在两阈值之间，该对象处于不确定状态。

1998 年，Pedrycz [93, 94] 提出影子集（shadowed sets）的概念，作为模糊集的三支近似。由模糊集构造影子集的过程用了三个动作，在概念上与 Zadeh 的方法相似：若某对象的模糊隶属度等于或高于某一阈值，该隶属度被抬升为 1；若等于或低于另一阈值，隶属度被压低为 0；若落在两阈值之间，隶属度被扩展为整个单位区间 [0, 1]。Zadeh 未曾讨论如何确定这对阈值，Pedrycz 则给出了计算这对阈值的优化方法。依三个值所成之集合 {1, [0, 1], 0}，影子集的正域、边界域与负域便可直接定义。

通过观察粗糙集、区间集与模糊集之三支近似中「三个域」这一共同观念，我于 2012 年勾画了三支决策理论 [132]，其中引入了基于评价的模型（evaluation-based models）。一种模型使用单一评价，概率函数与模糊隶属函数都是它的特例；另一种模型使用一对评价——我后来发现，它与「双极性」（bipolarity）[27]、评价空间模型 [13]、双格（bilattices）[26] 这些概念有密切关联。

上述研究更多聚焦于分类与决策问题，探索的是狭义的三支决策。自 2012 年起，我一直在做广义的三支决策，即「以三为单位思考」的哲学、「以三为单位工作」的方法论、「以三为单位处理」的机制。广义三支决策的最新结果，见于「三分—行动—结果」（TAO）模型 [134, 138]，下一节将简要回顾。本文则进一步从几何的角度，探索广义的三支决策。

就狭义三支决策而言，已有形式化的数学模型，这些模型给出了在特定语境中作三支决策的方法。就广义三支决策而言，研究聚焦于三支决策的哲学基础与方法论；广义模型更多是概念性的，可能难以用数学描述。三支决策之哲学与方法论的力量，正在于其普遍性、灵活性与领域无关性。广义的概念模型除了起「引导思维、解题与信息处理」的作用，还引导我们去构建新的、狭义的具体形式模型与可操作模型。

3　三分—行动—结果（TAO）模型

三支决策理论的根本哲学是三支思维，即以三为单位来思考。三个东西所成之三元组，被用来把整体描述、表征并处理为三个部分。本节简要回顾「三分—行动—结果」（trisecting-acting-outcome，TAO）模型 [136]，在此模型中可以看到「三」的许多用法。

3.1　TAO 模型概览

在三支决策中，我们用一个三分之三元组来表征一个整体。依对三元组的不同解释，可以构造出多种三支决策模型。构造三元组的一种可能方式，是把整体分解为三个部分。三支决策的 TAO 模型就是基于对三元组的这种理解而建立的。

图 1 描绘了 TAO 模型的三个基本成分，即：三分整体、对三个部分采取行动、优化结果。中央的三角形 (A, B, C) 表示整体的一次三分，它连接着两个三脚架。上方那个三脚架由节点「整体」（Whole）与三条腿 A、B、C 组成，描述「三分」这项任务。这个三脚架有两种可能的读法：自上而下地读，意味着整体被分解为三个部分；自下而上地读，意味着三个部分支撑起整体。下方那个倒置的三脚架，由节点「策略」（Strategies）与三条腿 A、B、C 组成，描述「行动」这项任务：一组策略被施加以处理这三个部分。这个三脚架同样有两种读法：从 A、B、C 向「策略」自上而下地读，意味着整体的三分使「形成一组不同策略」成为可能——我们基于整体的三分来设计一组策略；自下而上地读，则意味着把一组预先定义的策略施加于这次三分。在许多情形中，三分其实是依据一组给定策略而构造出来的。

虚线方框表示三支决策的结果，它由「三分」与「一组策略」的组合所决定。三分与行动这两项任务紧密相连。把图 1 的两个三脚架合在一起，我们得到一个以 (A, B, C) 为底三角形的三角双锥，共含三个层次。这个三角双锥为「三层次思维与处理」提供了基础 [139]，并引出三支决策的两种基本模式 [136]：一种是自上而下的三分驱动模式，从三分整体开始，再寻找最合适的策略去处理这三个部分；另一种是自下而上的行动驱动模式，从一组预先给定的策略开始，再寻找最有效的三分。要产出所期望的结果，可能需要寻找「三分」与「策略组」的最有效组合；这往往要求自上而下与自下而上两种模式多次迭代，涉及「由三分引导的策略重设计」与「由策略引导的整体再三分」。

三分 (A, B, C) 提供了处理这三个部分的共七种方式。图 2 把这七种方式排成三个层次 [136]。最底层是个体分析：三个部分各自被独立考虑，与其他两个无关。这类分析在图 1 中由一维的线表示——例如实线（整体, A）只考虑「整体」语境中的部分 A，虚线（A, 策略）把「策略」施加于部分 A，另外两部分 B 与 C 则不在图景之中。中间层是比较分析：把两个部分之间的关系纳入考虑。这类分析由图 1 中的二维三角形描述——例如把 A、B 两部分放在一起考虑时，我们有一个由三角形（整体, A, B）给出的「三分面」，以及一个由三角形（策略, A, B）给出的「行动面」；此时 A 与 B 分别相对于「整体」与「策略」被一并考虑，第三个部分 C 不起作用。最上层是整合分析：把三个部分全部纳入，由图 1 中的三维「三分锥」（上方）与「行动锥」（下方）描述。这三个分析层次，对应于对整体的一维、二维与三维理解。上一层次的分析，可以视为其下一层次相关分析的整合；下一层次的分析，可以视为其上一层次的投影。值得注意的是，底层与中层各含三个条目——这两个层次本身也可以被看作两种三支方法。

3.2　用一个例子解释 TAO 模型

如先前论文所述 [136, 138, 139]，来自广泛而多样学科的许多三支决策进路与例子，都可用来展示 TAO 框架的观念与价值。我们借助 Schwenk [106] 关于战略决策的研究，来解释 TAO 模型的基本概念与思想。Schwenk [106] 通过回顾并抽象众多战略决策过程的描述性模型，提出一个简化的三阶段模型，由问题识别、备选方案生成、评价与选择三阶段构成。对每一阶段，他列出三到四条可能起作用的启发式（即认知简化过程）。表 1 汇总了 Schwenk 论文中表 2 的相关信息。

依 TAO 模型来看，Schwenk 的三阶段战略决策模型可视为「三支决策即三支思维」的一个实例：三个阶段构成决策过程整体的一次三分；三个阶段中可能起作用的认知简化过程或启发式，对应于那组「策略」。对每一种认知过程，Schwenk 还给出了可能出现的不良后果。例如在问题识别阶段，决策者可能依赖错误的信念或假设，导致对证据与信息的忽略或误读。认知简化是一把双刃剑：在某些情形下它使复杂的战略决策变得简单，在另一些情形下也可能对组织有害；对于后者，可能需要矫正认知简化过程的不良后果。除表 1 所列的简化过程之外，Schwenk 还指出了若干别的过程。这就导致三个阶段中认知简化过程有大量的组合，而这或许可以解释决策者何以有那么多不同的做法与风格。Schwenk 的三阶段构想考虑到了 TAO 模型中「三分」与「行动」这两部分，为系统地研究战略决策提供了基础。至于 TAO 模型中的「结果」部分，研究如何评估一个带认知简化过程的三阶段战略决策模型的有效性，可能是有建设性的。

4　三支决策中的几何结构与模式

本节通过三支决策之结构与模式的几何解释，考察对三支决策的视觉理解。

4.1　三元组的表示与解释

三支决策作为三支思维，其核心概念是「三个东西（或事项）所成之三元组」。三元组在不同语境、不同应用中有多种解释。在图形表示中，我们用点或方框来表示这三个事项，用线来表示三个事项之间的关系。我们还会考察其他几何表示，包括三角形与圆。

4.1.1　三元组作为三个点

对三元组最简单的解释，由图 1 的 TAO 模型中三个节点 A、B、C 给出：三个相对独立、彼此不相连的事项，在图 3 中由三个孤立的点表示。尽管可以有图 3a 那样的顺序排列，或图 3b、3c 那样的分层排列，但我们假定这些排列并不隐含三个事项之间的任何特定次序。把三元组简单地表为三个孤立点之集合，我们就暂时忽略了三个事项之间那些有用而重要的互动与依赖关系——这些关系将在本文后面进一步探讨。这种简化的视角，使我们能够专注于只涉及三个事项的三支思维，而不必应付三者关系所带来的复杂。

有大量证据支持并证成这一类特定的思考方式，其表现即「三之法则」的各种用法。认知科学与心理学的一个重要结果，是由于短时工作记忆的容量，我们处理信息的能力有限：我们在工作记忆中只能处理少数几个信息单位，通常在两到七个之间 [23, 40, 83]。另一个相关结果是我们的瞬间计数（subitizing）能力：当呈现的条目数很少（通常少于六个）时，我们不数就能立刻说出其数目 [53, 96]。例如看第 3 图，我们能毫不费力地说出有三个点，而并未真的去数。尽管对确切数目有不同意见，「三」似乎是个合理的选择。支持「三」的一个证据是：最初三个数在不同语言中通常用一串相同的记号来表示 [25]——汉语分别用一横、二横、三横表示 1、2、3；罗马数字 1、2、3 分别由一根、两根、三根竖线构成。瞬间计数能力使我们不必数就能立刻看出这串相同记号的数值意义。反过来，当数目达到四或以上时，「一串相同记号」的模式就不再成立；如果仍用这种模式，我们就必须去数记号的个数了。

「三之法则」作为一种实用的认知简化启发式，告诉我们要一次专注于三个东西。我们很容易记住三件事，也容易给三件事排定先后 [80]；我们不必把它们写下来，也不必去查 [4]。Meier [80] 与 Bailey [4] 表明，把这套法则用于日常生活时，只要每天开始、每周开始时决定或挑出三件想完成的事、目标或任务，我们就能成就更多。Booker [10] 考察了「三之法则」在叙事中的各种用法——故事里的事物往往以三出现。Backman [3] 探讨写作中如何有效运用三段式或三支结构。Boer [9] 与 Gallo [35, 36] 解释了「三之法则」在公开演讲中的效力。Brown [12] 表明，「三位一体式」（即以三为单位思考）在营销的理论与实践中普遍存在。Pogliani 等 [97] 表明，在观看实在时，人类对三元格局有一种耐人寻味的偏好。三支思维中「三之法则」的用法还有很多。

我们再看三个例子，它们对「三」作了不同解释。三，也许是我们心中形成模式所需的最小条目数：一次是偶然，两次是巧合，三次就是模式。有时三被视为最大值：「三振出局」意味着第三次会带来严厉的后果或惩罚。在另一些情形下，三被用来比喻「多」：我们常把同一件事重复三遍以强调其重要、优先或急迫——例如 Oliver Strunk 谈写作的「清晰、清晰、清晰」，Tony Blair 陈述施政优先次序时的「教育、教育、教育」，以及房地产的「位置、位置、位置」。有趣的是，这种名为紧接反复（epizeuxis）的修辞手法，实际上同时用到了上述三层意义：a) 三是形成模式的最小条目数；b) 三是允许出现的最大次数；c) 三是比喻性的「多」。三个重复所成的三元组，构成一个有力而难忘的模式。

4.1.2　三元组作为三脚架

把三元组简单解释并表示为三个点，虽然抓住了「三」的一个本质侧面，却没有考虑部分与整体之间的关系，也没有考虑三个事项之间的互动。为引入这些侧面，我们用一个三脚架来表示三元组——这沿用了 Merrell [81] 以三脚架描绘并解释皮尔士符号的建议。在前面对图 1 TAO 模型的讨论中，我们辨认出两个三脚架：三分三脚架（整体, A, B, C）与策略三脚架（策略, A, B, C）。

图 4a 把三分三脚架重画为一把三叶扇。中央的圆表示整体；三条线描述部分与整体之间的关系：向外读，整体被三分为标作 A、B、C 的三个部分；向内读，三个部分支撑起整体。不同部分之间的关系，是通过它们各自与整体的连结而实现的——例如 A 与 B 经由中央的圆而相关。最后，三脚架以整体把三个部分联合起来。

图 4b 是 Merrell [81] 用来解释皮尔士三元组「符号（再现体）／对象／解释项」的符号学三脚架的一个略加修改的版本：我们把中央的点改成圆，并在三条线的外端各加一个点。图中 R、I、O 分别表示符号（或再现体）、解释项与符号学对象。三脚架表示一种真正的三支性（triadicity），中央的圆作为焦点把全部要素系在一起；每个符号要素都经由中央圆节点与另外两个相连。解释项扮演中介角色，连接再现体与对象，而意义正生于符号各成分之间的关系。我们把图 4a 的三脚架称为三支决策的三脚架——它为描述三支思维的三元组提供了一个有力的几何图形。

再举一例：我们在图 4c 中给出大数据的3V 刻画。2001 年，Laney [56] 通过引入数据的三个方面——数据量（volume）、速度（velocity）、多样性（variety）——讨论了一种三维的数据管理构想，后来这被称为大数据的 3V。以「以三为单位思考」的效力来看，3V 构想被接受并不奇怪，它不过是三支思维的又一例。有意思的是，许多人通过使用以 V 开头的词，提出考虑大数据其他方面与特征的各种方案，从三个 V 到十个 V 不等。这些 V 词包括：Volume、Variety、Velocity、Veracity、Variability、Validity、Vulnerability、Viscosity、Volatility、Visualization、Value 等等。正如三支思维原则所预言的，四个或更多 V 的方案所受到的关注，并不及三个 V 的方案。当我们面对四个以上的 V 时，就必须费力去记、去排序。其他 V 的引入，说明「数据量、速度、多样性」这三个 V 未必是最佳选择；另一方面，三支思维的原则要求我们只选三个 V 来概念化大数据。在既有研究用过的 V 词中，我们选择 Volume、Variety 与 Value 作为大数据的三个 V。「大」这个词限定了数据分析种种不同的方面；选出 Volume 与 Value 这两个 V，似乎是容易的决定：大的数据量是大数据恒定、共同而独特的特征，主要关乎数据的规模；导出高价值则是大数据分析的基本目的与目标。第三个 V 的选择需要一些说明：我们可以取 Variety 较宽的含义，用以涵盖数据各特征以及数据处理方法上的广泛差异、不一致、非单调或变异——这些正是其他 V 所刻画的东西。例如 Velocity 处理的是实时数据变化与被处理的各种速度；Veracity 关乎数据的各种不一致或准确性问题，等等。总结以上讨论，我们得到图 4c 给出的大数据三支 3V 构想。专注于三个 V，我们便得到大数据一个易记而有吸引力的刻画；纳入更多的 V 虽然覆盖更多方面，却未必有利。关于大数据 3V 构想的讨论，对于在其他语境中构建简单易记的模型，通常也有参考价值。

为支持「选三」这一决定，我们引用 Clayton [20] 的话：「三的清单在情感上的力量如此之大，以至于即便用的是四的清单，我们通常也只记得三个。」尽管 Clayton 是针对四要素清单说的，这句话对四以上的清单同样成立。我再用三个例子进一步说明三支性在人类理解中的必要与力量。第一个例子取自 Clayton [20] 关于伟大演说家如何常用「三的清单」作为有力句式：他指出，丘吉尔那句著名的四项清单「血、汗、泪、辛劳」（blood, toil, tears and sweat），常被误引或简化为三项清单「血、汗、泪」（blood, sweat and tears）。第二个例子取自 Brown [12] 关于营销中「生产／销售／营销」三时代图式：尽管 Keith [54] 的原文还含有第四个时代「营销控制」，这第四个要素在后来的研究中被遗忘了。第三个例子是编程语言的世代：人们普遍接受编程语言的发展分为三代——1) 第一代机器语言，2) 第二代汇编语言，3) 第三代高级语言；虽然又有人提出第四代、第五代，却既未被广泛接受，也未普遍使用。只谈到三代或三个时代，是一种常见的做法 [12]。两个太简，三个迷人，四个惊人。用三条好理由立论，比用两条或四条更有效 [110]。三脚架有三条支撑腿，这为建模提供了一个好比喻：三部分的模型给我们一种平衡、和谐与完整的审美愉悦——它复杂到足以容许必要的普遍性与灵活性，又简单到不至于给大脑添负担。

4.1.3　三元组作为三分线段

把三元组解释为三个点之集合或三脚架，为「三支决策即三支思维」提供了一般性的几何理解。在许多情形下，我们关心的是三个点的特定排列。最起初的简单想法，是把三个点放在一条线上，如图 5 所示，从而抓住三个点的顺序结构。把三元组解释为三分线段，是表达对实在（如空间与时间）之简单看法的一种广泛用法；前面讨论过的三时代图式与三代分类，都是三分线段解释的典型例子。线段表示一个连续的整体，各要素从左到右排序。给定一对阈值 ⟨α, β⟩，我们把整体划分为三段，记作三个点 L（左）、M（中）、R（右）。图 5b 是一条三分时间线的例子，形象地描绘了我们日常的时间观——过去、现在、未来之三元组。尽管我们为划分线段明确给出了一对阈值，但应当注意，这样清晰的切分在实践中未必良定义；更多时候，切分相当模糊，三段是定性地给出的，而非定量地给出。

三元组的三分线段解释，实际上为建立三支决策的基于评价的模型提供了基础 [132]：我们按对象们的评价值（evaluation status values，ESV）排列一个对象集，并基于一对阈值对该集合作三分。设 U 是对象集，假定对象的评价函数是从 U 到实数集的映射，即 e: U → ℝ；对 x ∈ U，e(x) 是 x 的评价值。一般地，我们可以用偏序集或全序集来代替 ℝ。给定一对阈值 ⟨α, β⟩ 且 α ≥ β，我们就能对对象集作三分。依取值等于 α 或 β 的对象如何判定，三分有若干种做法，下面给出两种：

L_(−∞,β](e) = {x ∈ U | e(x) ≤ β}，M_(β,α)(e) = {x ∈ U | β < e(x) < α}，H_[α,+∞)(e) = {x ∈ U | e(x) ≥ α}，　（1）

L_(−∞,β)(e) = {x ∈ U | e(x) < β}，M_[β,α](e) = {x ∈ U | β ≤ e(x) ≤ α}，H_(α,+∞)(e) = {x ∈ U | e(x) > α}，　（2）

其中 L、M、H 分别表示低、中、高的评价值，上标则给出构造相应段所用的区间。考虑 (2) 的一个特例：α = β = 0。此时我们得到 U 的三个子集，分别表示负的、零的与正的评价值。负／零／正这一三元组，其实是我们日常生活中的一个有力比喻：负与正代表两个相反、有时相争的极端，零则代表和谐而宽容的「黄金中道」。采取中道、避免极端，是历久弥新的生活智慧 [43, 77]。

图 5c 以三分线段解释三支决策：两个或更少则太少，四个或更多则太多，三个才是认知上有效思考的正确数目。把一个连续整体分为三部分，代表着从定量理解转向定性理解：同一线段段内的变化是量变；一旦变化越过某些阈值，就变成质变。三支定性表征——易懂、易解、易记——的实例随处可见：有低收入、中等收入与高收入家庭；有偏低、正常与偏高的体温或血压；有基础版、标准版与豪华版的产品；有良好、更好与最佳的做法与价值。统计分析中，我们有时考虑分布的中间与两端；股价的变动被描述为下跌、持平与上涨；我们对某个议题的态度被分为反对、中立与支持。三支决策的基于评价的模型，正是抓住了这类实例的本质特征。我们还可以指出，三值逻辑或可作为对三支定性值进行推理的基础。

4.1.4　三元组作为三层次结构

三分线段这种表示，给出一组三个东西的顺序感。在某些情形下，把三个东西分层排列，以把握控制与支撑之感，是有用的；这一侧面引出了作为三支决策模式之一的「三层次思维」 [139]。图 6 描绘了三种常用的三元组层级表示，即：三层次级结构（trilevel hierarchies）、三层次金字塔（trilevel pyramids），以及同心三圆（concentric tricircles，或称嵌套三层圆）。

三层次级结构被广泛用于组织世界与我们自身：三级政府、三层管理、三层领导、三层战略、三层理解、三层设计、三层生物多样性、三层经济，等等。层级之间通常存在控制—支撑关系，顶层（或内层）通过中层（或中间层）与底层（或外层）间接相关。如图中实线所示，较高层次控制并决定其较低层次；如虚线所示，较低层次支撑其较高层次。在某种意义上，层级的控制与隶属为复杂情境带来秩序。层级结构在粒度计算中起关键作用：较低层次由较小的粒构成，代表较低的粒度与更多的细节；较高层次由较大的粒构成，代表较高的粒度与更多的抽象。这一关联引出了三支粒度计算 [136]。下面讨论图 6 中三类三层次结构的一般观念与例子。

三层次级结构。在图 6a 中，我们用三个同样大小的矩形，传达「三个层次价值相同」之感——例如三个层次中每一个都与另外两个同等重要。三个层次只是从不同的抽象程度、细节程度或尺度描述或表示同一个问题，它们从三个不同视角给出对整体的描述。我用三个例子说明三层次级结构的用法。第一个例子是 Marr [79] 对信息处理系统的三层次理解（图 6d）：顶层关注抽象的计算理论，中层涉及具体的表示、算法与过程，底层关乎物理实现。有了这种三层次构想，就可以不谈具体的表示与算法而谈论计算理论，也可以不谈具体的机器硬件而谈论表示与算法。一种理论可以决定、同时也被多种表示与算法所支撑；同样，一个算法可以决定、同时也被多种硬件实现所支撑。三层次级结构使我们得以分离关切、在不同层次聚焦于不同问题、在恰当的层次提出恰当的问题。Marr 主张，对信息处理系统的完整理解，关键取决于对三个层次的理解；通过反复探索自上而下的控制与自下而上的支撑，我们提高了找到最合适的理论、表示与算法以及实现的概率。Marr 的三个层次影响了计算机科学、认知科学、脑科学及其他若干领域中的三层次思维。

第二个例子是 Weaver [107] 的传播问题三层次模型，由三部分构成：通过信道传送符号的技术问题、理解所传信息的语义问题、利用所理解信息的效果问题。值得注意的是，Weaver 的三个层次是自下而上按复杂性递增排列的。以复杂性与难度递增的多层次级结构去接近一个复杂问题，是一种常用的有效做法。第三个例子是数据库管理系统的 ANSI-SPARC 三级体系结构，即：面向用户数据视图的外层、面向数据逻辑视图的概念层、以及面向物理数据存储与检索的内层 [48]。与 Marr 的三个层次相似，三种视图的分离使我们能在特定层次专注于特定类型的问题——例如，我们可以研究数据的逻辑方面，而不必操心其物理存储与检索方法。

三层次金字塔。在图 6b 中，我们用一个三层次金字塔来描绘三元组。我们之所以愿意把图 6b 称作金字塔而不称作三角形，有三条理由。其一，三个层次大小不同，构成底大顶小的金字塔结构。其二，我们把三元组的三个事项表示为金字塔的三个层次，而不给三角形的三条边、三个角赋予任何特殊含义——以三角形为基础的解释，将在下一小节讨论。其三，金字塔提供了一个层级组织的比喻：底层成员众多，越往上成员越少。图 6a 的三层次级结构把握的是三个层次的相同感，三层次金字塔反映的则是三个层次的差异感；也许正是这种差异感，使三层次金字塔成为常用的几何图形。

我用三个例子说明三层次金字塔作为三元组表示的用法。第一个例子是 Anthony [1] 提出的组织三层次金字塔（图 6e）：计划与控制的三层次以战略决策、战术决策与业务决策为特征。如金字塔所示，三个层次上决策的规模、影响与数量差别很大：大量业务决策在底层做出，一些战术决策在中层做出，少数重要的战略决策在顶层做出。较低层次的决策受较高层次决策引导；反过来，较低层次的决策支撑较高层次的决策。尽管层次多于三的金字塔在管理科学中也常见，Anthony 的金字塔似乎更流行——因为它简单，且与各类信息系统相衔接。例如，与三层次金字塔相对应，可以在三个层次上研究信息管理系统 [41]。

第二个例子是我对「数据／信息／知识／智慧」（DIKW）四层次结构的重新解释：把「信息」与「知识」两个层次合并为中间的「信息—知识」层 [139]。在这一解释下，底层关于未经处理的原始数据，中间的「信息—知识」层关于嵌入数据之中的各类知识（即：信息被视为一种弱知识），顶层则关乎对知识的明智使用。在某种意义上，新的 DI-KW 层次结构与 Anthony 的金字塔相当吻合：业务决策聚焦于数据，战术决策基于可得的信息与从数据中提炼的知识，战略决策则在行动中显出智慧。

第三个例子是广告的 AIDA 模型（注意—兴趣—欲望—行动），常被称为 AIDA 金字塔或 AIDA 漏斗。可以说，三层次漏斗就是一个倒置的金字塔，这是三元组的又一种几何表示。AIDA 模型的作用机理是：引起顾客的注意，提升顾客的兴趣与欲望，最终使顾客采取购买行动。横在「注意」与「行动」之间的，可能不止「兴趣」与「欲望」；这促使许多方案在 AIDA 模型中引入更多阶段 [5, 117]，可惜这使模型变得复杂。反方向上，基于「效果层级」（hierarchy of effects）的概念，也许可以把中间两个层次合成一个中间层 [5, 6]。依「认知／情感／意动（行为）」这一效果层级的标签 [5, 6]——它对应「思／感／行」——我建议把新的中间层称作情感层。如此，便有一个简单的注意／情感／行动（attention/affect/action）3A 营销金字塔。

同心三圆。三层次级结构与三层金字塔，提供的是把三元组看作三个东西之堆叠或分层的视角，它们适于对三元组作自上而下与自下而上的理解。在某些情形下，我们希望按「内与外」的空间比喻或「容器」的包含比喻来考虑三个东西；带有多层的圆，或一族同心圆，便可服务于这一目的。图 6c 是一个三层圆，由内层、外层与居中的中间层刻画。向外读，内层决定或支撑中间层，中间层决定或支撑外层；向内读，外层建立在中间层之上，中间层建立在内层之上。这种洋葱式结构三层的大小，立即给出两种解释：由小到大的序列，指示一种从内部小核心向外部长大的生长；由大到小的序列，指示大层对较小层的包含。我用三个例子说明三层圆比喻的价值。

第一个例子是 Sinek [109] 提出的「黄金圈」（Golden Circle）领导力模型，即图 6f 中加上一条实线与一条虚线者。如黄金圈的三层所示，每一个组织、我们每一个人都该知道三件最重要的事：我们做什么（What）、我们怎么做（How）、我们为什么做（Why）。在某种意义上，三个圆的大小暗示了我们对这三者的把握程度：我们都知道「做什么」，一部分人知道「怎么做」，只有极少数人能清楚说出「为什么」。杰出领导者与我们普通人的差别在于：杰出领导者从「为什么」出发，由内向外地思考、行动与沟通（如图中实线所示）。也就是说，一种有力而有效的思考、行动与沟通模式是「为什么→怎么做→做什么」：我们为什么做，引导我们怎么做；我们怎么做，引导我们做什么。反过来，我们多数人通常从「做什么」出发，很少走到「为什么」（如图中虚线所示）。这个带三层、两个运动方向的黄金圈，提供了一条通往卓越领导力的路。

第二个例子是 Clear [21] 在其行为改变三层次模型中对黄金圈的化用。与图 6c 的三层圆相对应，Clear 给三个层次贴的标签是身份（Identity）、过程（Processes）与结果（Outcome）。内层关乎我们是谁，涉及身份的改变——它体现在我们的信念、世界观、自我形象、对自己与他人的评判之中。中层关乎我们怎么做，涉及过程的改变，即改变我们的习惯与系统。外层关乎我们得到什么，涉及结果的改变，即改变所带来的成果。身份、过程、结果这三层，分别关乎我们相信什么、我们做什么、我们得到什么。要建立能持久的习惯，我们必须愿意在三个层次上都作改变；三个层次上的改变性质虽不同，却都有用。三层圆的价值，正在于改变可以朝两个方向进行 [21]。我们可以用图 6c 解释 Clear 的模型：虚线指示一种结果导向的习惯建立方式——我们多数人是这样做的，聚焦于或起始于我们想达成的目标；实线指示一种身份导向的习惯建立方式，聚焦于我们希望成为什么样的人。向内追问「我们是谁」的根本，会帮我们明白自己怎么做；而明白自己怎么做，就会结出「我们得到什么」的果实。就建立习惯而言，我们应当始终聚焦于成为那一类人，而不是聚焦于取得某个特定结果。

第三个例子是用三层圆描述计算机系统时常用的做法，即把三层标作硬件、系统软件与应用软件：系统软件由硬件支撑，建立在硬件之上并环绕硬件；应用软件由系统软件支撑，建立在系统软件之上并环绕系统软件。

4.1.5　三元组作为三角形

在三分线段与三层次结构中，三元组里有两个要素并不直接相连，而是通过第三个要素相连。当任意一对要素之间的直接连结有用时，我们就需要考虑三元组的三角形表示与解释——即图 1 TAO 模型中中央那个三角形 (A, B, C)。把图 5 三分线段的中点提起、并把两个端点连起来，便可轻易得到一个三角形。在以三角形为基础的解释中，三角形表示一个整体，三个角表示三元组的三个要素。用三角形作三元组的几何表示，是最常见的一种，无处不在。作为示例，我讨论图 7 中的三类三角形。

三支决策是关于基于三个要素之集合（或三元组）的思维。在图 7a 中，我们把三角形解释为表示一个整体，把三角形的三个角解释为三元组的三个要素，把三条边解释为三个要素两两之间的连结。在三角形中，每个要素都与另外两个相连，显示它们的依赖、关联与支撑。若只看一条边，我们看到的是两个要素之间的关系——例如边 (A, B) 把 A 与 B 连在一起。若把任意两条边放在一起看，我们看到的是「共有的那个要素」与「两个不共有的要素」之间的直接关系，但两个不共有要素之间的关系并不直接呈现——例如把边 (A, B) 与 (A, C) 放在一起，A 成为注意的中心，可以在 B 与 C 的语境中被解释，而 B 与 C 的关系并不直接在场。若看全部三条边，则三个角各出现恰好两次，出现两类关系：由一条边给出的直接关系，以及经由第三个要素、由两条边给出的间接关系——例如对 (A, B) 这一对，我们既有直接关系 (A, B)，也有经由 C 的间接关系，即 (A, C) 与 (C, B)。可以说，三元组的三角形解释，为我们探索三支决策提供了许多可能性。

至于更具体的、以三角形为基础的解释，我采用 Béziau [8] 的抽象 A-E-Y 反对三角形（图 7d）。A-E-Y 三角形的三个角，表示用来描述某物在特定时刻之状况、情境或位置的三种状态；其中 A 与 E 代表两个相反的极端，第三个状态 Y 代表居于中间者。典型情形下，这三个状态两两排斥：在任何时刻，该事物必处于三者之一。当我们给三个角赋以具体含义时，这个抽象的 A-E-Y 三角形便有许多解释。例如在量化的反对三角形中，符号 A、E、Y 分别解释为「所有」（全称肯定）、「没有」（全称否定）与「有些但不是全部」。表 2 汇总了反对三角形各种解释的更多例子 [8]。

三角形可以通过三种方式变得更有用：a) 用不同的线型与颜色引入不同类型的边；b) 给边加上箭头；c) 给线附加注解。图 7b 是一个带箭头、含两类边的三角形示例。我可以用这个三角形来解释 Covey [22] 那个有力的「第三选择」（the 3rd alternative）概念……

如图 7e 所示，「第一选择」是「我的方式」，「第二选择」是「你的方式」。这两种方式通常彼此冲突，如图中三角形底边那条带双向箭头的虚线所示。通过协同，我们上升到「我们的方式」这第三选择，如图中两条带单向箭头的实线所示。这第三选择是两个相竞方式的调和，通向一条更高、更优越的解决冲突之路。Martin [78] 考虑过类似的想法，并提出「整合性思维」（integrative thinking）这一概念；他把整合性思维定义为「建设性地面对对立观念之张力的能力：不是牺牲一个以选择另一个，而是以一个新观念的形式，对张力作出创造性的解决——这个新观念含有对立观念的要素，却优于其中任何一个」。

Covey 的第三选择与 Martin 的整合性新观念，与前面讨论过的「中道」有关，但彼此不同：中道更多关乎节制与避免极端，是留在两个对立面之间；而「温和的中间」与「整合或协同而成的新中间」这两种解释，共同给出了「第三路」这一概念更完整的图景——它是在常用的两条路之外再加一条，从而构成三支决策的一个基础。

现在考虑一种特定的带箭头三角形：三条带箭头的边构成一个圆环。例如 A 指向 B，B 指向 C，C 又指回 A。换言之，三元组中的三个要素构成一个循环序列，或具有某种循环依赖。圆形形象地给出一种完整感。此时，这个「圆三角形」可以画成一个三分圆，如图 7c 所示。作为一个具体例子，图 7f 描绘了 Duhigg [30] 的「线索—惯常—奖赏」习惯回路：这个三步回路解释了大脑如何运作——一个线索触发一种习惯，引出一段身体、心理或情绪上的惯常行为；惯常行为的结果产生奖赏；回路又随一个新的线索重新开始。这个回路的持续多次重复，就孕育出习惯。

4.1.6　三元组作为三维空间的基

三维空间为描述空间信息提供了一种形式化而可视的方法。三个线性无关的向量构成三维空间的一组基，于是空间中任何一点都可由这三个基向量线性组合而成。在这个意义上，一组基是对空间最简单的刻画。由于我们生活在三维空间之中，三维比喻在不同文化与学科中被普遍使用。因此，我们可以把三元组视为三维空间的基：由这个三元组可以生成整个空间。也就是说，三元组由三个基本要素构成，而从它们可以产出其余一切要素。这种带有生成力的三元组解释，为「三支决策即三维思维」提供了一个新视角。

图 8a 描述以正交基 {x, y, z} 表示的三维向量空间，其中 x、y、z 是沿三条轴的单位向量。空间中一点 p 由三元组 (a, b, c) 表示，其中 a、b、c 是 p 在三条轴 x、y、z 上的投影。换言之，p 由 a 个单位的 x、b 个单位的 y、c 个单位的 z 组成，表示 p 的向量写作 ax + by + cz。这个三元组也称为 p 所定义之向量的分量。如果我们再用 a、b、c 标注三条轴上的三个点，便立刻得到一个三脚架 (p, a, b, c)：p 为顶，a、b、c 为三条腿，如图 8a 中的虚线所示。这个「一分为三」或「三合为一」的比喻，解释了三维思维的底层原理——而三维思维是三支决策的一种模式。

为进一步说明三维思维，我再举两个例子，凑成三个。Guṇa（三德）的概念是印度教世界观的核心观念之一 [72]。guṇa 一词的字面义是绳、线、缕或索，暗示世间万物皆被三德所缚 [116]。作为一个统摄性的概念，guṇa 的译法不一，有性质、特性、属性、财产、样式、优点、德性等等 [49, 72, 116]。三德作为基本的质性、自然之样态或驱动力，分别是 sattva（善、纯净、光明、和谐、优越等）、rajas（激情、活动、运动、矛盾等）与 tamas（黑暗、衰败、惰性、迟钝、不活动、低劣等）[19, 49, 72, 116]。参照「正—中—负」三元组，我们可以类似地解释三德：a) sattva 是正的，与善、真、健全、健康等相关；b) tamas 是负的，与黑暗、无明、死亡等相关；c) rajas 可正可负，视具体语境而定 [72]。图 8b 用三德标注三维空间中的三个维度。依三维思维的比喻，正如我们用三个数定义三维向量空间中的任一点，我们也可以用 sattva、rajas、tamas 这三种基本质性——就其比例、配置与组合而言——来刻画世间一切事物与存在者。万物都是这三德以不同比例的混合；和谐是三德的恰当比例，失衡则是三德的比例失调。用三德而非其他数目，为「三支决策即三支思维」又添一份证据。

顺带一提，就三支思维的效力而言，guṇa 一词的字面义（一缕、一索）与数目三的结合，也让我们想起那句比喻：「三股合成的绳子不容易折断。」

颜色在我们的日常生活与沟通中扮演重要角色，用三种颜色来思考是一种很常见的做法。三德被表示为白（sattva，明亮）、红（rajas，情绪与不安）、黑（tamas，黑暗）[116]。红黄绿三色交通灯告诉我们：红时停，绿时行，黄时准备停或（在安全时）准备行。在项目管理中，同一套三色系统表示项目进度超前（绿）、落后（红）、需要关注（黄）。用三色思考时，我们可以给三元组中的每个事项配上不同的颜色。除了用三种颜色，还有若干模型用三种原色（加色）来生成或表示各种颜色 [111]——例如图 8c 是基于红、绿、蓝三原色的三维 RGB 空间的图示。与三维空间中点的表示相似，一种颜色是三原色的凸组合，即三原色按一定比例的混合。尽管三维颜色空间容许无限多的可能，实践中我们通常只考虑有限种颜色。在 RGB 颜色模型中，两种等强度原色的组合产生三种间色：青（绿加蓝）、黄（红加绿）、品红（红加蓝）；一种原色与相邻的两种间色之一等强度组合，产生一种复色；三种原色与三种间色，共产生六种复色。尽管还可以继续组合，这最初三个层次的 12 种颜色往往已经够用。色觉的三色说，正是基于视网膜中三类分别对长（L）、中（M）、短（S）波长敏感的视锥细胞而建立并解释的 [111]，这也可视为「以三为单位思考」的又一例。用三色作视觉表示的常见做法、三维颜色空间、以及色觉三色说，从一个新的「颜色视角」为三支决策提供了额外的洞见。

4.2　三者的偏好序

以上讨论聚焦于三元组的表示与解释，依据的是三元组中三个东西之间的关系。当我们把策略施加于一个三元组以取得期望结果时，有时还需要考虑另一类关系——它反映我们对这三个东西的偏好。如图 9 所示，偏好有三个基本类别 [134]：1) 无序的三（如图 9a）；2) 偏序的三（如图 9b–d）；3) 全序的三（如图 9e）。三者的偏好序告诉我们：在三支决策 TAO 模型的「行动」步骤中，该如何排定注意力的先后——尤其在时间与资源稀缺之时。一个三元组的偏好序，可能与前面讨论的其他结构相同，也可能不同。

图 9a 是无序的三：三个事项之间没有任何偏好次序，彼此平行。图 9b 显示一种偏序的三：其中一个排在另一个之前，第三个不被纳入考虑。前面讨论过的医疗决策例子可以说明：把对象分成 (i) 确定患病者、(ii) 可能患病者、(iii) 未患病者三组；在设计治疗方案与监测计划时，(i) 排在 (ii) 之前，而 (iii) 不被纳入考虑。图 9c 显示三个之中有一个优于另外两个——「中道」哲学就是这种结构的典型例子：相对于两个相反的极端，我们偏好温和的中间。医学检验中，居中值表示正常，过低或过高都表示异常；正常优于异常。图 9d 显示三个之中有两个优于第三个，恰与图 9c 相反。仍用前面的医疗决策例子：(i) 与 (iii) 两组伴随着确定性或较少的不确定性，(ii) 组伴随着更多不确定性；确定性下的决策容易，不确定性下的决策困难。从不确定性的角度看，我们可能同时偏好 (i) 与 (iii) 而胜过 (ii)。我们人类一般偏好「知道」——无论结果是正还是负——而不喜欢「不知道」。图 9e 显示全序的三，与无序的三恰成反面：此时处理很容易，即按顺序一个接一个。全序的三在许多情形下与三层次结构相同——对 Marr 的三个层次，自然地按「计算理论—表示与算法—硬件实现」的顺序工作；参照 Sinek 的黄金圈，依次处理「为什么」「怎么做」「做什么」的问题更为有效。

无序的三、偏序的三、全序的三这三个类别，本身也构成一个偏好结构的三元组——从无偏好到强偏好。两端（无序与全序）相对简单、易于处理，中间（偏序）则更复杂，也提供更多处理方式。我们可以把无序的三与全序的三分别对应到混沌与秩序，那么偏序的三就处在混沌与秩序之间的边缘上。这三种状态可比作无定形的气、可流动的液与刚硬的固——复杂性、有趣之事与创新，都发生在液态的中间，即「混沌的边缘」 [52]。这或许提示：带偏序三者的三支决策可能产出有用的模型，正如中道 [77]、Covey 的第三选择 [22] 与 Martin 的整合性第三观念 [78] 这些例子所示。

5　基于三支思维的更丰富结构之解释

本节通过三个例子表明：用上一节讨论的三支决策基本结构，可以构造并解释更复杂的几何结构。

5.1　集合论三支决策中三分划的六边形

三支决策的集合论模型，是基于对象全域的三分而建立并解释的 [140]。依三分中三个子集性质的不同，可以研究不同的模型。本节只考虑基于三分划（tripartition）的模型。设 U 是称为「对象全域」的集合。三个子集 A, B, C ⊆ U 构成 U 的一个三分，记作 ⟨A, B, C⟩，如果它们满足性质：(i) A ∪ B ∪ C = U，即三个子集之并覆盖全域。U 的一个三分划，是满足下列性质的 U 的三分：(ii) A ≠ ∅，B ≠ ∅，C ≠ ∅；(iii) A ∩ B = ∅，A ∩ C = ∅，B ∩ C = ∅。性质 (ii) 要求三个子集皆非空；性质 (iii) 表明三个子集两两不相交。U 的一个三覆盖（tricovering），是满足性质 (i)、(ii) 与 (iv) 的 U 的三分：(iv) A ≠ B，A ≠ C，B ≠ C，即三个子集两两不同。有了性质 (ii)，性质 (iii) 蕴含 (iv)，因此三分划是三覆盖的特例。

对一个三分划 ⟨A, B, C⟩，取各子集的集合补，便得到另一个三分 ⟨A^c, B^c, C^c⟩，其中 A^c = U − A 表示 A 的补集，余类推。由三分划的性质，还成立下列关系 [8]：

(1) A^c = B ∪ C，B^c = A ∪ C，C^c = A ∪ B；
(2) A^c ∩ B^c = A^c ∩ C^c = B^c ∩ C^c = ∅；
(3) A ⊆ B^c，A ⊆ C^c，B ⊆ A^c，B ⊆ C^c，C ⊆ A^c，C ⊆ B^c；
(4) A^c ∪ B^c = U，A^c ∪ C^c = U，B^c ∪ C^c = U；
(5) A^c ≠ B^c，A^c ≠ C^c，B^c ≠ C^c。

由此可见，三分 ⟨A^c, B^c, C^c⟩ 是 U 的一个三覆盖。我们采用 Béziau [8]、Dubois 与 Prade [28]、以及 Ciucci 等 [17] 的「集合论六边形」概念，来描述三支决策的六边形：以三分划 ⟨A, B, C⟩ 与三覆盖 ⟨A^c, B^c, C^c⟩ 中的六个子集为六边形的六个角，以它们之间的关系为边，便得到图 10 所描绘的三支决策六边形。

在六边形中，虚线连接两个不相交的集合，点线连接一个集合与其补集，实线连接两个交集非空的集合，带箭头的实线连接一对集合，其中一个是另一个的子集。六边形中的三角形是有用的三元组。三分划 ⟨A, B, C⟩ 是由三条虚线构成的中间那个三角形。三分划也可以用 ⟨A, B, C⟩ 中任意一对子集等价地定义，因为第三个子集可以取为另两个子集之并的补集。例如 ⟨A, B, C⟩ 可等价地写作 ⟨A, B, (A ∪ B)^c⟩。因此，三分划与 Ciucci [15] 提出的「正交集对」（orthopair，即一对不相交的集合）概念相关。例如 ⟨A, B, C⟩ 可由正交集对 ⟨A, B⟩ 等价地定义。

三覆盖 ⟨A^c, B^c, C^c⟩ 是由三条实线构成的中间那个三角形。依性质 (4)，三覆盖 ⟨A^c, B^c, C^c⟩ 中任意两个子集都足以覆盖全域 U；而且这两个子集确定了第三个子集。例如 A^c ∪ B^c = U，且 C = A^c ∩ B^c。因此，只给出三覆盖 ⟨A^c, B^c, C^c⟩ 中的两个子集，便足以定义它。

对应六个角，六边形中有六个三角形。三个由三条实线构成的三角形，各自给出一个三覆盖，即 ⟨A, B^c, C^c⟩、⟨A^c, B, C^c⟩ 与 ⟨A^c, B^c, C⟩。^①在每一个这样的三覆盖里，带补集算符的那两个子集都足以覆盖全域，而第三个子集正是这两个子集之交。例如在三覆盖 ⟨A^c, B^c, C^c⟩ 中，B^c ∪ C^c = U，且 A^c = B^c ∩ C^c。另外三个三角形各由两条实线与一条虚线构成，它们不产生三覆盖。

六边形中有三个矩形：（A, B, A^c, B^c）、（A, C, A^c, C^c）与（B, C^c, B^c, C）。由一个矩形出发，把两条相邻的边与两条对角线之一组合起来，可以得到四个三角形，从而给出四个三覆盖。例如由矩形（A, C, A^c, C^c）可得四个三覆盖：⟨A, C, C^c⟩、⟨A^c, C, C^c⟩、⟨A, A^c, C⟩ 与 ⟨A, A^c, C^c⟩。这样的三覆盖总共有 12 个。

这 12 个三覆盖中的每一个，都由三分划 ⟨A, B, C⟩ 中的某个子集、该子集的补集，以及三分划中另一个不同的子集或该第二个子集的补集所定义。例如三覆盖 ⟨A, C, C^c⟩ 由子集 C、C 的补集 C^c 与第二个子集 A 构成；三覆盖 ⟨A^c, C, C^c⟩ 则由子集 C、C 的补集 C^c 与 A^c（即第二个集合 A 的补集）构成。换言之，这些三覆盖中的每一个，都可以简单地刻画为六边形中由一条点线相连的一对互补子集，外加作为语境的第二个子集。

三分划的六边形以及六边形中的各个三角形，提示了可用于三支决策建模的不同模式与结构。对全域的其他类型的三分，也可以构造类似的六边形。这些六边形已被用来把三支决策与粗糙集分析、形式概念分析等不同的数据分析方法联系起来 [18, 28, 138]。

5.2　八卦的排列与循环

阴阳观念深植于中国思想与文化之中。王 [120] 对阴阳意义与应用之丰富与多样，作了非常全面的分析与讨论。本文只基于对阴阳的一种极基本的理解，考察几种特定的三支思维方式。焦点在于阴阳对偶之中所嵌入或隐含使用的诸三元组。我希望，对阴阳作这样一种三支式的考察，或能为这个丰富而多面的阴阳概念添一点新意。

5.2.1　八卦的三步构造过程

阴阳代表一对相互依存、互补而可转化的对立面。阴是负的、暗的、女性的；阳是正的、亮的、男性的。世上万物都含有阴阳，或者都可用阴阳来解释。阴阳共存，缺一不可。阴阳这个概念本身也有它的两面：一面简单、直白、属形而下，另一面复杂、微妙、属形而上。阴阳的交互、融合与和谐，生出「中」（Zhong），又称「和」（He）。于是我们得到由阴、阳、中构成的三元组——中嵌在阴阳之间，是一个居中的位置、一个被调和的第三态、一条阴阳之间的边界。（阴，阳，中）三元组在中国思想与文化中屡见不鲜。例如，阳代表天，阴代表地，而我们人处在中间，连结天地。父象征阳，母象征阴，子女在中间把父母系在一起。热是阳，冷是阴，中间是更舒适的温带。阴阳相混而生「中」，正如冷水与热水相混而生温水。

以结构化的方式组合阴阳，可以产出有用的模式。图 11 显示以阴阳的三步组合过程构造八卦的情形，这是「以三思考」的一个例子。图中，断线代表阴，连线代表阳。我们假定向上方向代表天（即阳），向下方向代表地（即阴）。向上走，阳量增加、阴量减少；向下走，阴量增加、阳量减少。此外，每一步都在既有的模式之上加一条阴线或阳线，以形成新的模式。第一步，自太极（Taiji，太一）向上生出阳，向下生出阴，这一对称为「两仪」。第二步，在两仪各自之上加阴线或阳线，生出「四象」；加阳线相当于向上，加阴线相当于向下。例如太阳（即（阳，阳））是向上走的结果，因而生出更多的阳。前两层的命名体系——即阳、阴、太阳、少阴、少阳、太阴——暗示新加入的阴线或阳线权重更高。例如在阳之上加一条阴线，生出少阴，其中阴占主导。最后，第三步，在四象各自之上加阴线或阳线，生出八卦。八卦名为乾（天）、兑（泽）、离（火）、震（雷）、巽（风）、坎（水）、艮（山）、坤（地）。乾全由阳线构成，属阳，标为阳；坤全由阴线构成，属阴，标为阴。其余六卦，若一卦只含一条阳线，则属阳、标为阳；若一卦只含一条阴线，则属阴、标为阴。因此，兑、离、巽属阴，标为阴；震、坎、艮属阳，标为阳。

值得注意的是，这条判定第三层阴阳性质与标记的规则，并不适用于第一、二层：后加的阴阳线并不具有更高的权重。这也与解读三条阴阳线的常见做法有些出入。通常，八卦提供了一种三支思维的方式：上线关联天，下线关联地，中线关联人。三条线可以有不同的权重。八卦之集合，由阴阳一切可能的三重组合构成。八卦被用作对万物加以分类与研究的手段。在八卦原型的形成过程中，赋予其意义的方式多种多样，例如配以数字、联系自然物象、关联空间方位等。

5.2.2　八卦的数值解释

在某种特定意义上，八卦只起事物类别的索引作用。用三条线，一卦易于记诵、易于把握。如前所述，一卦的结构由阴阳线的数目与它们的位置共同决定。因此，把数字及其附带的意义系于八卦之上，是很自然的。若在图 11 中自上而下把八卦标以 1 至 8，便得到乾-1、兑-2、离-3、震-4、巽-5、坎-6、艮-7、坤-8。这些数字只是各卦在序列中的位置，可以理解为卦的序号。

在中国的数字思维中，奇数通常称为阳数，偶数称为阴数。可惜，卦的序号并不传达卦的阴阳性质。例如离的序号是 3，但它的性质是阴而非阳。有人提出，八卦可以看作二进制数的表示 [88]。在图 11 中，把阴解作 0、阳解作 1，自下而上读一卦，便得到 ()₂ 所示的二进制数。乾的二进制数是 (111)₂ = 1×2² + 1×2¹ + 1×2⁰ = 7，兑的二进制数是 (110)₂ = 1×2² + 1×2¹ + 0×2⁰ = 6，余类推。如此得到的八卦序列与前述相同，但按数值递减排列，由 7 降到 0。另一种做法是把阴解作 1、阳解作 0。乾的二进制数为 (000)₂ = 0，兑为 (001)₂ = 1，……，坤为 (111)₂ = 7。这样得到的序列仍相同，只是按数值由 0 递增到 7。

自下而上构造一卦的二进制数时，底部的阴或阳贡献占主导。这似乎与「上者主导」的假定不一致。然而，若把阴解作 0、阳解作 1，自上而下构造二进制数，则乾、兑、……、坤的值分别为 7、3、5、1、6、2、4、0，给出的是另一个序列。此外，太极既非阴亦非阳，很难给它配一个数。如前所述，阴阳之中嵌着一个「中」，构成（阴，阳，中）三元组。标准二进制系统对这样的三支思维可能不够用，因为我们只有代表阴、阳的 0 与 1，而没有代表「中」的符号。此外，阳取正、阴取负这种显而易见的含义也没有明确呈现。

为解决这些问题，我建议用一种较少人知的平衡二进制数系 [55, 104] 来给八卦作数值解释。这一体系与（阴，阳，中）三元组完美匹配，它用了三个符号：1 = −1 代表阴，1 = +1 代表阳，0 代表中。阴阳显然是一对负数与正数，二者之和为 0 = (−1) + (+1)，即「中」。图 11 中用 ()_b 表示一卦的平衡二进制数。为与「上者主导」的假定保持一致，我们自上而下构造平衡二进制数。例如，自乾、兑、……、至坤，我们分别得到 (111)_b、(111)_b、……、(111)_b。计算平衡二进制数十进制值的程序，与普通二进制数相同。例如乾由 (111)_b = (+1)×2² + (+1)×2¹ + (+1)×2⁰ = +7 算得，兑由 (111)_b = (−1)×2² + (+1)×2¹ + (+1)×2⁰ = −1 算得，余类推。

有了平衡二进制，相应十进制值的正负号，就为卦的阴阳性质提供了明确而方便的标示。也可以表达每一卦中阴阳的组成。例如乾不含阴，只有 +7 单位的阳；兑含 −4 单位的阴与 +3 单位的阳，其和 (−4) + (+3) = −1，显示了兑的阴性；余类推。可惜，在平衡二进制数系下，乾、兑、……、至坤的十进制值，并不符合通行的八卦阴阳标记。另一方面，太极可以表达为 0，即阴（−1）与阳（+1）之和，或 −3 与 +3 之和，等等——阴阳的互补性由此明确呈现：阴为 −1，阳为 +1，其和为 0，代表太极。

若一卦可由另一卦翻转阴阳线而得，则称两卦构成一对「象互补」卦。对象互补对（乾，坤），乾为 +7，坤为 −7，其和为 0。对互补对（离，坎），离为 +3 = (−2) + (+5)，坎为 −3 = (−5) + (+2)，其和也是 0，尽管二者对应的阴阳性质与标记恰好相反。^②万物都含有阴阳的混合，离、艮、震、巽这四卦，每一卦都同时含有阴线与阳线。因此，就阴阳标记这一点重新解读离-艮与震-巽这两对象互补卦，或许并非没有道理。例如，把离（火）判为阳而不判为阴，也许不尽合理。这样处理后，单凭奇偶的序号，与单凭正负的平衡二进制十进制值，就会与八卦的阴阳性质与标记全部吻合。此外，它也会与「一卦三线分表天、人、地且可有不同权重或重要性」这一三支理解相吻合。

5.2.3　八卦的空间解释

八卦有两种广泛使用的圆式排列，即「先天图」与「后天图」[87, 89, 114, 120]。在某种程度上，这两图提供了八卦的空间解释，如图 12 所示。两种循环有许多特征与解读，其中可以辨认出最重要的功能之一，即一条定位与定向的原则及方法。在这方面，可以观察到三支思维：定位与定向有三个层次，重要性依次递减。圆心代表「中」（中位、太极），是最重要的位置。四个正方向是东、南、西、北。四个次方向是东南、西南、西北、东北，每一个都处在两个相邻正方向的中间。若我们把自己置于中心，八卦便是我们与外部世界的连接。另一种做法是把四个正方向标为左、上、右、下，把四个次方向标为左上、右上、右下、左下。通常，上为尊，代表天；下为卑，代表地。

基于这一理解，有一种简便的方法可以解释先天循环：只需把图 11 中的序列排列出来即可。如图 12a 所示，乾由三条阳线构成，取天之位；坤由三条阴线构成，取地之位。紧随乾之后的三卦，依序逆时针放在循环的左半；先于坤的三卦，按递减次序逆时针放在循环的右半。这里有几个有趣的观察。按序号递增的次序把各卦连起来，得到一个 S 形。四对象互补卦的两卦分别位于两侧，代表两个相反的方向；而且它们的序号之和都是 9。若用对应的平衡二进制十进制值，则两卦符号相反，其和为 0。

构造与解释八卦循环的其他方式，依赖另外两张图，即「河图」与「洛书」，如图 13 所示。〔译者注：图 13 共五个子图，为河图、洛书的点阵摹本及其同心三圆化表示，摹本的点位排布与配色属文物图像，重绘易失真，此处不重绘；其构成已在正文中完整说明：黑点为阴（偶）数、白点为阳（奇）数，河图为 1–10、洛书为 1–9，两图之数 5 皆居中，河图（5, 10）为中、四对（3,8）（2,7）（4,9）（1,6）为四正方向。〕^③两图中，黑点代表阴（偶）数，白点代表阳（奇）数。河图（图 13a）由 1 至 10 十个数构成，洛书（图 13c）由 1 至 9 九个数构成。两图中，数 5 都在中央。数 5 的图形是一个十字，独一无二，与其他各数的图形截然不同；其他各数的图形是线条或矩形。十字表示法如实捕捉了五个方向，即中央与四个正方向。事实上，我们可以把五的十字解读为两个三元组：一个是横向的三元组，另一个是纵向的三元组。也就是说，「以五思考」是两种三支思维方式的结合。横向三元组可以解释中道原则，强调中间的优越位置，以避免偏左或偏右。纵向三元组则可以解释我们连结天地的居中位置。

河图与洛书都可以用同心三圆来解释，如图 13 所示。同心三圆在河图里比较明显 [114]，如图 13b 所示；而在洛书里，同心三圆是嵌在图 13d 的幻方之中的。图 13e 中，中间的圆改用一个方来代替。河图中，（5, 10）这一对表示中央，四对（3, 8）、（2, 7）、（4, 9）、（1, 6）表示四个正方向。为表示四个次方向，可以把外圈顺时针或逆时针旋转 45 度。洛书则直接给出中央与八个方向：数 5 是中央，1、3、7、9 是四个正方向的近邻，而 1、2、……、9 是正方向与次方向合起来的八个近邻。这个「一格、四邻、八邻」的三元组，在图像处理与模式识别中常用。洛书幻方中，无论横向、纵向还是斜向相加三个数，其和总是 15。对每条过数 5 的直线，两端之数的和都是 10，其平均值与居中者都是 5。也就是说，三个数的三元组清楚地代表了两个对立面与一个中，体现了中道的原则。

要作出图 12 的先天图与后天图，可以按河图或洛书配数。例如，按洛书得到的后天序列是：坎-1、坤-2、震-3、巽-4、中-5、乾-6、兑-7、艮-8、离-9。结果便是图 12b 的后天图。不过，虽然处于两个相反方向上的一对卦在数上关于 10 互补（即其和为 10），它们未必是象互补的。若把先天的数序略作改动，改为乾-1、兑-2、离-3、震-4、中-5、巽-6、坎-7、艮-8、坤-9，那么在先天图中，处于相反方向上的一对卦就既数互补（其和为 10），又象互补。

如果我们想为八卦循环建立一个更简单的解释，那么最好能让八卦的三个方面彼此一致，即：一卦阴阳性质的数值解释、两卦之间的象互补、两卦之间的数互补。两卦相合而成一重卦，六十四重卦构成了解释《易经》的基本模式与结构。重卦中每一爻都有特定含义。除了「以两卦思考」，重卦的六爻还可分成三组、每组两爻，提供了另一种三支思维的方式。与对单卦的解读相似，爻在重卦中的位置也大有讲究。例如，底下两爻关联地，中间两爻关联人，上面两爻关联天 [120]。于是，一重卦就用作 4.1.4 节讨论过的三层次结构。另一种做法是从内向外读重卦的六爻：中间两爻代表重卦的本质部分或核心力量；自下第二爻与自上第二爻分别是下卦与上卦的中位，代表最理想的位置；最下与最上两爻则分别代表开始与最终结果。这样，一重卦就类似于 4.1.4 节讨论过的同心三圆来使用。

关于八卦、六十四重卦及其排列与循环，看法甚多。就这些模式与结构而言，解读《易经》大致有两派，即象数派与义理派。遗憾的是，现有的许多研究并不完全一致，也不完全相容。在某种程度上，这给八卦、八卦的数值解释、八卦的排列与循环等许多基本概念，造成了不必要的复杂与神秘。最后须指出：我对这些基本概念所作的三支理解与解释的简短讨论，无意理清一整张错综复杂的问题之网，也不应被看作在寻找唯一正确的答案。它的主要目的，是把注意力引向其中所涉的三支思维。沿着前文关于第三选择与第三条道路的讨论，或许有可能把象数、义理两派整合为一个第三派——在这一派里，来自数、象、义、理诸互补视角的结果，在一个整全的视野下彼此贯通。对这一第三派作更彻底、更系统的研究，或许是值得进一步努力的方向。

5.3　九型人格

九型人格（the enneagram）如图 14a 所示，是一个有九个点的几何图形，它有许多解释，也服务于许多目的——例如作为某种灵性世界观的表示、转化的象征、个人与灵性反省及成长的工具、人格类型系统等等 [7, 32, 44, 86]。基于前面对八卦的讨论，我们也可以从形象、数、义理与原理所提示的多个角度来研究九型人格。本文主要考察九型人格所提示的三支思维方式与模式。

应当提一句：九型人格受到过批评，例如它作为人格类型系统的科学效度就曾受到质疑 [32, 115]。尽管如此，九型人格作为组织、呈现与推理的可视化隐喻工具，其效力是切实、有力而有洞见的。九型人格所描述的那些模式，帮助我们用「三」来解释世界、管理情绪。

5.3.1　九型人格中的三支结构与三支思维

九型人格本身可以看作一个三支结构，由与 9、3、7 这三个数相关的三个主要成分构成。第一个成分是一个圆，被等分为九段，其中一个分点位于最上方；从最上方的 9 开始，九个分点按逆时针依次编号，由 9 而下到 1。第二个成分是连接 3 的三个倍数——即 3、6、9——的等边三角形。第三个成分是六角星（hexad），即图 14b 中那个六尖图形，它按数 7 所定义的特定次序，连接其余六个数。若用 7 去除 1 到 6，便得到下列六位循环小数的序列：

1/7 = 0.142857，　2/7 = 0.285714，　3/7 = 0.428571，
4/7 = 0.571428，　5/7 = 0.714285，　6/7 = 0.857142。　（3）

可以看到，1、4、2、8、5、7 这个循环序列在六个循环小数中都出现。图 14b 的六角星，其实就是把序列 1、4、2、8、5、7 中相邻的两个数连起来而构成的；这在结构上等价于「以该序列排列的六个数所成之圆」。总之，我们可以简单地把九型人格解释为三个圆：一个连接九个数，一个（以三角形表示）连接三个数，一个（以六角星表示）连接其余六个数。

九型人格含有重要的象征意义，它的三个成分引出三条原则与法则：圆对应「一之法则」（the law of one），即整体性法则；三角形对应「三之法则」；六角星对应「七之法则」（the law of seven）。按葛吉夫（Gurdjieff）的说法，「三之法则」讲的是三种力——主动的、被动的、中性的力 [44]——这与三德（guṇa）哲学有密切关联。万物皆依三支形式而被创造、被运作。葛吉夫认为，新事物可以从既有事物中诞生：「较高者与较低者相混，以实现中间者；于是它对此前的较低者成为较高者，或对此后的较高者成为较低者」 [7]。一个转化过程通常需要三种力：肯定、否定与和解。这让我们想起中道或第三选择的哲学。

「七之法则」描述万物的运动路径。在六角星上，从某个数出发、遍历六个数再回到该数，形象地描绘出世间万物发展的典型路径。假设从 1 出发，按数值递增的顺序遍历六角星；考察下一个数相对当前数的相对位置，我们得到如下序列：

左下，右上，左上，右下，左上，右上。　（4）

这条路径不是直线，而是由交错的力量之奋争与失坠、以及向左与向右的移动所构成。

5.3.2　九型人格的类型学

九型人格最流行的应用之一，就是人格分型。我简要回顾 Riso 与 Hudson [105] 以及 Dueck [29] 的基本思想，重点在三元组的用法。我在三个层次上考察对九种人格类型的理解。

第一层：三个中心。九型人格的九个数被分成三个中心，代表三个身体或智能的三元组：(8, 9, 1) 属腹中心（本能／身体）三元组，(5, 6, 7) 属头中心（理智／思维）三元组，(2, 3, 4) 属心中心（情绪／感受）三元组。腹中心通常与愤怒相关，头中心与恐惧相关，心中心与羞耻相关。三个三元组居中的数——即 9、6、3——对应于「基本人格类型」，这些类型通常被本能、思维或感受所阻；其余六个数对应于「次级人格类型」，它们混杂一些，也与本能、思维或感受有更多连结。九型人格的三个三元组，因而标明了三种基本的心理取向。

第二层：九个类型的逐一刻画。Riso 与 Hudson [105] 给出如下描述：2 型「助人者」（乐于鼓励、善于表达、有占有欲的类型）；3 型「促动者」（有雄心、务实、在意形象的类型）；4 型「个人主义者」（敏感、自我沉浸、抑郁的类型）；5 型「调查者」（善于观察、偏重头脑、喜欢挑战的类型）；6 型「忠诚者」（忠于承诺、尽责、多疑的类型）；7 型「热情者」（随兴、爱玩、易过度的类型）；8 型「领导者」（自信、坚定、好对抗的类型）；9 型「和平缔造者」（讨人喜欢、随和、自满的类型）；1 型「改革者」（理性、理想主义、有条理的类型）。对每一个基本类型，Riso 与 Hudson 只给出三条基本而有代表性的特征，而不是一份详尽无遗的清单。这可以看作「三之法则」与三支思维原则的又一应用。

第三层：类型与「翼」。一个基本人格类型可以再参照另外两个基本类型来进一步解释，从而又构成一个三类型的三元组。给定一个基本类型，它在九型圆上两个相邻类型中的一个是它的翼（wing）。基本类型占主导，翼则可能补充、并给基本类型添加重要的（有时是相矛盾的）要素。给定「一个基本类型加两个翼」这个三元组，有三种可能：只用一翼、用占优的那一翼、或两翼并用。

九型人格类型学中三元组被频繁使用，也许并不奇怪，因为它们都源于三之法则。作为一个工具与一个隐喻性符号，内嵌众多三元组的九型人格是有用的、有力的、能成事的。追求九型人格新的、科学的与明智的用法，是一条富有成果的研究方向。

6　结论

三支决策理论关乎「以三为单位思考、以三为单位工作、以三为单位处理」。本文通过考察三支决策的几何学，努力开辟一条新的研究路径。所得结果形成了关于三支决策之三个视角的三元组，即视觉的、数值的与文本的视角。可以说，这三个视角的三元组在更宽广的语境中提供了一个有力的隐喻。这三个互补视角的三元组，对一般意义上的日常生活、以及具体意义上的智能系统之设计与实现，都有重要含义。这个三元组帮助我们成为更好的整合性思考者——通过视觉地、数值地、文本地思考。有效的沟通（例如在科学论文中呈现一个想法）依赖于三个视角的无缝整合；任何智能系统的输出，若能以视觉、数值与文本的方式被呈现、解释与交流，就会变得更有意义。

在本文中，我刻意在许多地方使用了数目三——例如「节、小节、小小节」的三层次结构、三词短语、三个例子等等。事实上，只要细看任何一篇科学论文，都会看到三支思维的存在。许多书名有三个词，或含有三个主题。我们或自觉或不自觉地都在使用「三」。三支决策理论的目标，是系统地研究我们一直在做的事，并寻找一个解释的模型。在引言中，我已简要讨论过三支思维（即三支决策）对人工智能的若干含义；作为未来研究，深入研讨这一课题是值得的。

三支决策是一种接近复杂性的人类方式与启发式，它也可以为智能系统所用。一边是人的智能，一边是机器的智能，三支思维提示把二者的整合作为第三选择。当人与机器组成的网络协同工作时，集体的、全局的智能或许会涌现出来。最后，本文讨论的几何结构与模式，或可帮助我们扩展三支决策的应用领域，尤其是在智能系统的设计方面。

译注

①　原文讨论六边形中的三覆盖时，三个由三条实线构成的三角形分别给出三个三覆盖 ⟨A, B^c, C^c⟩、⟨A^c, B, C^c⟩、⟨A^c, B^c, C⟩。原文排版中集合补的横线（上划线）在 PDF 文本层无法提取，此处的补集符号系依上下文关系与图 10 的连线还原——读者对照原刊第 6315 页，可见三式中上划线的分布与本文所标一致。

②　原文此句为「it might be unreasonable to interpret Li (fire) as Yang, instead of Yin」。按上下文（作者正在论证应重新解读离、艮、震、巽四卦的阴阳标记），此句意在质疑「离为阳」这一通行标记；译文取其意译作「把离判为阳而不判为阴，也许不尽合理」，未逐字直译其否定语气。

③　图 13（河图、洛书）未重绘，理由见正文中的译者注。

参考文献

以下 162 条照录原文英文原形，未作翻译——学术引用须能回查原刊。个别作者名中的变音符号因源 PDF 文本层编码所限，可能与原刊略有出入。

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